Тут все просто.
1. Если вы не хотите называть фамилию и должность, то сразу провоцируете недоверие и подозрительность по отношению к медицинской организации в целом даже у психически здорового человека. Вот не вижу проблемы. На ваших бейджиках и так написано больше чем надо. Зачем скрывать?
2. Еще проще: "Извините, я боюсь ошибиться, лучше позвоните Николай Николаевичу на мобильный и уточните, пожалуйста...". И все. У всех "левых" знакомых ясное дело мобильного нет, поэтому в случае глупого вопроса про № телефона вежливый ответ: ""У все знакомых нашего Николая Николаевича обязательно есть мобильный телефон. Вероятно, вы ошиблись. извините, у меня вторая линия...".
Вариант для представителей ФСБ, МВД, прокуратуры и т.п.: "Полагаю, что это очень важно (то что Вы спросили), давайте я запишу Вашу Ф.И.О., должность и точное название подразделения и немедленно передам руководству для принятия мер...". На этом всегда все заканчивается, вопли, ксивы исчезают.